Elmar Schrohe, Institut für Analysis

Seminar 'K-Theorie'

Die K-Theorie ist ein mathematisches Werkzeug, das vor rund 50 Jahren von Grothendieck einerseits und Atiyah und Hirzebruch andererseits entwickelt wurde. Sie spielt in vielen Bereichen der Mathematik eine wichtige Rolle, beispielsweise in der Topologie, der Zahlentheorie, der Geometrie, der Funktionalanalysis und der Indextheorie; auch in der Stringtheorie findet sie Anwendungen. In diesem Seminar wollen wir eine Einführung in die K-Theorie für C*-Algebren geben, die in den siebziger Jahren entwickelt wurde. Sie verallgemeinert die klassische K-Theorie, ist jedoch wegen der Vielzahl der möglichen Konstruktionen und der Flexibilität des Konzepts leichter zu handhaben. In Alain Connes' Nichtkommutativer Geometrie hat sie eine Fülle von Anwendungen gefunden. In diesem Seminar befassen wir uns zunächst mit C*-Algebren und ihren elementaren Eigenschaften. Jeder C*-Algebra A kann man dann ihre K-Gruppen zuordnen, nämlich die beiden abelschen Gruppen K 0(A) -- im wesentlichen formale Differenzen von Äquivalenzklassen von Projektionen -- und K1-(A) -- im wesentlichen Äquivalenzklassen von unitären Elementen. Tatsächlich sind K0 und K1 Funktoren, die wir uns genauer ansehen werden. Ziel des Seminars ist es, die K-Theorie vieler C*-Algebren oder einfacher topologischer Objekte mit Hilfe der zyklischen exakten Sequenz berechnen zu können. Wir folgen im Wesentlichen dem Buch von Rordam, Larsen und Laustsen (RLL). Das Seminar kann zu Bachelor- und Masterarbeiten hinführen; es ergänzt sich gut mit der Vorlesung `Indextheorie'.

Vorträge

  1. Grundlagen: Beispiele für C*-Algebren, Morphismen, Ideale, Quotienten, Exakte Sequenzen, Einheiten und approximative Einsen, Adjungieren von Einsen, Spektraltheorie
    Quelle: RLL, 1.1, 1.2
    Vortrag: Robert Fulsche
  2. Grundlagen: Matrixalgebren, induktive Limiten
    Quelle: RLL, 1.3, 6.2
    Vortrag: Alexandre Schönwitz
  3. Invertierbare und unitäre Elemente: Homotopieklassen
    Quelle: RLL, 2.1
    Vortrag: Sabrina Gaube
  4. Projektionen: Partielle Isometrien und Projektionen, Äquivalenzklassen, Halbgruppeneigenschaft
    Quelle: RLL, 2.2, 2.3
    Vortrag: Monty-Max. Zühlke
  5. Die Gruppe K0 für unitale Algebren. Funktorialität.
    Quelle: RLL, 3.1, 3.2
    Vortrag: Maren Hoberg
  6. Beispiele
    Quelle: RLL, 3.3
    Vortrag: Elmar Schrohe
  7. K0 für beliebige C*-Algebren. Standardbild. Exaktheit
    Quelle: RLL, 4.1-4.3
    Vortrag: Robert Fulsche
  8. Die Gruppe K1. Funktorialität.
    Quelle: RLL, 8.1, 8.2
    Vortrag: Fabian Hartmann
  9. Die Indexabbildung. Indexabbildung und partielle Isometrien. Exaktheit.
    Quelle: RLL, 9.1-9.3
    Vortrag: Lina Schmitz
  10. Höhere K-Funktoren. Isomorphie K1(A) und K0(SA). Lange exakte Sequenz.
    Quelle: RLL, 10.1, 10.2
    Vortrag: Jan Hennig
  11. Bott-Periodizität. Die Bott-Abbildung.
    Quelle: RLL, 11.1-11.3
    Vortrag: Elmar Schrohe
  12. Die exakte 6-Term-Sequenz
    Quelle: RLL, 12.1-12.2
    Vortrag:

Literatur

  1. B. Blackadar, K-Theory for Operator Algebras. Cambridge University Press, Cambridge, 1998.
  2. A. Connes, Noncommutative Geometry. Academic Press, San Diego, CA, 1994
  3. K. R. Davidson, C*-Algebras by Example. Fields Institute Monographs, 6. American Mathematical Society, Providence, RI, 1996.
  4. T. Gowers. K-theory. Online lecture notes.
  5. M. Rordam, F. Larsen, N. J. Laustsen. An Introduction to K-Theory for C*-Algebras. London Math. Soc. Student Texts 49. Cambridge University Press 2000.
  6. E. Schrohe. Introduction to Pseudodifferential and K-theoretic Methods in the Index Theory for Boundary Value Problems. In: Geometric, Algebraic and Topological Methods for Quantum Field Theory. World Scientific. New Jersey 2016.
  7. N. E. Wegge-Olsen, K-theory and C*-Algebras. Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York 1993.

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